Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Bergerak dari titik $P$ ke $Q$:
Turun (-) sejauh 3 petak, lalu belok kanan (+) sejauh 6 petak.
Gradien garis $PQ$ adalah $\boxed{m = \dfrac{-3}{6} = -\dfrac12}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Bergerak dari titik yang ditandai dengan noktah hitam (lihat gambar di atas):
Turun (-) sejauh 1 petak, lalu belok kanan (+) sejauh $4$ petak.
Gradien garis $l$ adalah $\boxed{m_l = – \dfrac{1}{4}}$
(Jawaban B)

Garis $k$ memotong sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$ berturut-turut di $(-3,0)$ dan $(0,-2)$. Karena melalui kedua titik tersebut, maka gradien $k$ dapat ditentukan dengan menggunakan koordinat titiknya.
Dari $(-3, 0)$ bergerak ke $(0,-2)$:
Turun (-) sejauh $2$ satuan, lalu belok ke kanan (+) sejauh $3$ satuan. Dengan demikian, gradien garis $k$ adalah $\boxed{m_k = -\dfrac23}$
(Jawaban A)

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Bergerak dari titik $A$ ke $B$:
Turun (-) sejauh $4$ petak, lalu belok kanan (+) sejauh $6$ petak.
Gradien garis $a$ adalah $m_a = – \dfrac{4}{6} = -\dfrac23$
Gradien garis yang tegak lurus dengan garis $a$ adalah $m = -\dfrac{1}{m_a} = \dfrac{3}{2}$
(Secara verbal: dinegatifkan lalu dibalik)
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Gradien garis $k$ dapat ditentukan karena melalui $2$ titik yang koordinatnya telah diketahui, tidak seperti garis $c$.
Bergerak dari titik $(0,4)$ ke $(-2,0)$:
Turun (-) sejauh $4$ petak, lalu belok kiri (-) sejauh $2$ petak.
Gradien garis $k$ adalah $m_k = \dfrac{-4}{-2} = 2$
Karena garis $k$ dan $c$ sejajar, maka gradiennya sama. Dengan demikian, gradien garis $c$ adalah $\boxed{m_c = 2}$
(Jawaban D)

Gradien garis $5x-4y-20 = 0$ adalah
$m = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{5}{-4} = \dfrac54$
Jadi, gradien garis tersebut adalah $\boxed{m = \dfrac54}$
(Jawaban A)

Dalam bentuk $y = mx + c$, $m$ merupakan gradien garisnya.
Untuk itu, ubah semua bentuk persamaan garisnya seperti itu.
1) $2y = 8x + 20$
Bagi kedua ruas dengan $2$ sehingga diperoleh $y = 4x + 10$. Gradien garisnya adalah $\color{red} {m_1 = 4}.$

2) $6y = 12x + 18$
Bagi kedua ruas dengan $6$ sehingga diperoleh $y = 2x + 3$. Gradien garisnya adalah $m_2 = 2.$

3) $3y = 12x + 15$
Bagi kedua ruas dengan $3$ sehingga diperoleh $y = 4x + 5$. Gradien garisnya adalah $\color{red}{m_3 = 4}.$

4) $3y = -6x + 15$
Bagi kedua ruas dengan $3$ sehingga diperoleh $y = -2x + 5$. Gradien garisnya adalah $m_4 = -2.$

Dua garis saling sejajar apabila gradiennya sama. Dengan demikian, garis yang saling sejajar adalah $2y = 8x +20$ dan $3y = 12x + 15$ (nomor 1 dan 3).
(Jawaban B)

Berdasarkan konsep gradien, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{y_B -y_A} {x_B -x_A} & = m \\ \dfrac{p -3}{2 -(-2)} & = \dfrac12 \\ \dfrac{p-3}{\cancel{4}} & = \dfrac{2}{\cancel{4}} \\ p -3 & = 2 \\ p & = 5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{5}$
(Jawaban A)

Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1)$ dan bergradien $m$ adalah
$y -y_1 = m(x -x_1)$
Untuk itu, persamaan garis yang melalui titik $(-3, -2)$ dan bergradien $2$ adalah
$\begin{aligned} y -(-2) & = 2(x -(-3)) \\ y + 2 & = 2x + 6 \\ y – 2x + 2 -6 & = 0 \\ y -2x -4 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas} ~&\text{dengan}~-1 \\ 2x -y + 4 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis yang melalui titik $R(-3,-2)$ dengan gradien $2$ adalah $\boxed{2x -y + 4 = 0}$
(Jawaban B)

Cara 1:
Gradien garis $4y -3x = -4$ adalah
$m_1 = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{-3}{4} = \dfrac34$
Karena sejajar, maka gradien garis $m = m_1 = \dfrac34$.
Persamaan garis yang melalui titik $(2, -5)$ dan bergradien $\dfrac34$ adalah
$\begin{aligned} y -y_1 & = m(x -x_1) \\ y -(-5) & = \dfrac34(x -2) \\ 4(y+5) & = 3(x-2) \\ 4y + 20 & = 3x -6 \\ 4y- 3x + 26 & = 0 \end{aligned}$
Cara 2:
Persamaan garis yang sejajar berbentuk $4y -3x = c$. Substitusikan $x = 2$ dan $y =-5$.
$\begin{aligned} 4(-5) -3(2) & = c \\ -20 -6 & = c \\ c & = -26 \end{aligned}$
Dengan demikian, persamaan garisnya berbentuk $4y-3x=-26$ atau ditulis menjadi $4y -3x + 26 = 0$
Jadi, persamaan garis yang melalui titik $(2, -5)$ dan sejajar dengan garis $4y-3x=-4$ adalah $\boxed{4y-3x+26=0}$
(Jawaban D)

Cara 1:
Gradien garis $y = -\dfrac23x + 6$ adalah $m_1 = = -\dfrac23$
Karena sejajar, maka gradien garis $m = m_1 = -\dfrac23$.
Persamaan garis yang melalui titik $(4, -5)$ dan bergradien $-\dfrac23$ adalah
$\begin{aligned} y -y_1 & = m(x -x_1) \\ y – (-5) & = -\dfrac23(x -4) \\ 3(y+5) & = -2(x-4) \\ 3y + 15 & = -2x + 8 \\ 3y + 2x = & = -7 \end{aligned}$
Cara 2:
Persamaan garis yang sejajar berbentuk $y = -\dfrac23x + c$. Substitusikan $x = 4$ dan $y =-5$.
$\begin{aligned} -5 & = -\dfrac23(4) + c \\ -5 & = -\dfrac83 + c \\ c & = -5 + \dfrac83 = -\dfrac{7}{3} \end{aligned}$
Dengan demikian, persamaan garisnya berbentuk $y = -\dfrac23x -\dfrac73$. Kalikan kedua ruas dengan $3$ sehingga diperoleh
$3y = -2x -7 \Leftrightarrow 3y + 2x = -7.$
Jadi, persamaan garis yang melalui titik $(4, -5)$ dan sejajar dengan garis $y=-\dfrac23x+6$ adalah $\boxed{3y+2x=-7}$
(Jawaban D)

Cara 1:
Gradien garis $4x-3y+8=0$ adalah $m_1 = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{4}{-3} = \dfrac43$
Karena tegak lurus, maka gradien garis $m = -\dfrac{1}{m_1} = -\dfrac34$. 
Persamaan garis yang melalui titik $(2, -7)$ dan bergradien $-\dfrac34$ adalah
$\begin{aligned} y -y_1 & = m(x -x_1) \\ y – (-7) & = -\dfrac34(x -2) \\ 4(y+7) & = -3(x-2) \\ 4y + 28 & = -3x + 6 \\ 3x + 4y & = -22 \end{aligned}$
Cara 2:
Persamaan garis yang melalui titik $(a, b)$ dan tegak lurus garis $Ax + By = c$ adalah $Bx -Ay = Ba -Ab$. Dengan demikian, persamaan garis yang melalui titik $(2, -7)$ dan tegak lurus garis $4x – 3y + 8 = 0$ adalah 
$\begin{aligned} -3x -4y & = -3(2) -4(-7) \\ -3x -4y & = 22 \\ 3x + 4y & = -22 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis yang melalui titik $(2, -7)$ dan tegak lurus garis $4x-3y+8=0$ adalah $\boxed{3x + 4y = -22}$
(Jawaban B)

Cara 1:
Persamaan $2y = -x +1$ bila kedua ruasnya dibagi 2 menjadi $y = -\dfrac12x + \dfrac12$
Gradien garis $y = -\dfrac12x + \dfrac12$ adalah $m_1 = -\dfrac12$
Karena tegak lurus, maka gradien garis $m = -\dfrac{1}{m_1} = 2$. 
Persamaan garis yang melalui titik $(-2, 1)$ dan bergradien $2$ adalah
$\begin{aligned} y -y_1 & = m(x -x_1) \\ y -1 & = 2(x -(-2)) \\ y – 1 & = 2x + 4 \\ y & = 2x + 5 \end{aligned}$
Cara 2:
Persamaan garis yang melalui titik $(a, b)$ dan tegak lurus garis $Ax + By = c$ adalah $Bx -Ay = Ba -Ab$. Dengan demikian, persamaan garis yang melalui titik $(-2, 1)$ dan tegak lurus garis $x + 2y= 1$ adalah 
$\begin{aligned} 2x -y & = 2(-2) -1(1) \\ 2x -y & = -5 \\ -y & = -2x -5  \\ y &  = 2x + 5 \end{aligned}$
Jadi, Persamaan garis yang melalui titik $(-2, 1)$ dan tegak lurus garis yang persamaannya $2y=-x+1$ adalah $\boxed{y = 2x + 5}$
(Jawaban A)

Cara 1: Normal
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ adalah
$\dfrac{y -y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{x – x_1}{x_2-x_1}$
Persamaan garis yang melalui titik $(5, 3)$ dan $(-2, 1)$ adalah
$\begin{aligned} \dfrac{y -1}{3 -1} & = \dfrac{x – (-2)}{5 -(-2)} \\ \dfrac{y-1}{2} & = \dfrac{x+2}{7} \\ 7(y-1) & = 2(x+2) \\ 7y-7 & = 2x+4 \\ 7y & = 2x + 11 \end{aligned}$
Cara 2: Kece
Perhatikan cara skematik berikut.

Cara 1: Normal
Garis $g$ melalui titik $(0,3)$ dan $(2,0)$. Persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut adalah
$\begin{aligned} \dfrac{y -y_1}{y_2 -y_1} & = \dfrac{x -x_1}{x_2 -x_1} \\ \dfrac{y -3}{0 -3} & = \dfrac{x -0}{2 -0} \\ \dfrac{y-3}{-3} & = \dfrac{x}{2} \\ 2(y-3) & = -3x \\ 2y -6 & = -3x \\ 3x + 2y -6 & = 0 \end{aligned}$
Cara 2: Kilat
Cara ini dipakai apabila titik potong garis terhadap kedua sumbu koordinat diketahui. Perhatikan cara skematik berikut.

Diketahui persamaan garis lurus: $y = \dfrac12x -2.$
Titik potong garis terhadap sumbu koordinat harus ditentukan dulu.
Titik potong terhadap sumbu-$X$ terjadi saat $y = 0.$
$0 = \dfrac12x -2 \Leftrightarrow 2 = \dfrac12x \Leftrightarrow x = 4.$
Jadi, koordinat titik potongnya adalah $(4, 0)$.
Titik potong terhadap sumbu-$Y$ terjadi saat $x = 0.$
$y = \dfrac12(0) -2 \Leftrightarrow y = -2$
Jadi, koordinat titik potongnya adalah $(0, -2).$
Gambarkan kedua titik tersebut pada sistem koordinat Kartesius, lalu hubungkan kedua titik itu sehingga membentuk garis lurus.
(Jawaban C)

Diketahui persamaan garis lurus: $4x-y-1 = 0$.
Berdasarkan alternatif jawaban yang diberikan, kita harus memeriksa nilai $y$ saat $x$ bernilai $-1, 0$, dan $1$.
Untuk $x = -1$, kita peroleh
$\begin{aligned} 4(-1) -y -1 & = 0 \\ -5 -y & = 0 \\ y & = -5 \end{aligned}$
Garis melalui titik $(-1, -5)$.
Untuk $x = 0$, kita peroleh
$\begin{aligned} 4(0) -y -1 & = 0 \\ -y -1& = 0 \\ y & = -1 \end{aligned}$
Garis melalui titik $(0, -1)$.
Untuk $x = 1$, kita peroleh
$\begin{aligned} 4(1) -y -1 & = 0 \\ 3 -y & = 0 \\ y & = 3 \end{aligned}$
Garis melalui titik $(1, 3)$.
(Jawaban C)

Gradien garis $m$ adalah $m_m = 2$.
Karena tegak lurus, maka gradien garis $k$ adalah $m_k = -\dfrac{1}{m_m} = -\dfrac{1}{2}$
Persamaan garis yang melalui titik $(2, 0)$ dan bergradien $m = -\dfrac12$ adalah
$\begin{aligned} y -y_1 & = m(x -x_1) \\ y -0 & = -\dfrac12(x -2) \\ 2y & = -x + 2 \\ x + 2y & = 2 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis $k$ adalah $\boxed{x + 2y = 2}$
(Jawaban C)

Gradien garis $PR$ di mana $P(-3,-5)$ dan $R(-2,-8)$ adalah
$m_{PR} = \dfrac{y_2 -y_1}{x_2 -x_1} = \dfrac{-8 -(-5)}{-2 -(-3)} = \dfrac{-3}{1} = -3$
Karena garis yang dimaksud tegak lurus dengan garis $PR$, maka gradien garisnya adalah $m = -\dfrac{1}{m_{PR}} = -\dfrac{1}{-3} = \dfrac13$
Persamaan garis yang melalui titik $(-2, 4)$ dan bergradien $\dfrac13$ adalah
$\begin{aligned} y -y_1 & = m(x -x_1) \\ y -4 & = \dfrac13(x -(-2)) \\ 3(y -4) & = x + 2 \\ 3y -12 & = x + 2 \\ 3y -x -14 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garisnya adalah $\boxed{3y-x-14=0}$
(Jawaban A)

Gradien garis $g$ adalah $m_g = \dfrac{-20}{25} = -\dfrac45.$
Karena tegak lurus, maka gradien garis $k$ adalah $m_k = -\dfrac{1}{m_g} = \dfrac54$
Persamaan garis yang melalui titik $(0, -20)$ dan bergradien $m = \dfrac54$ adalah
$\begin{aligned} y -y_1 & = m(x -x_1) \\ y -(-20) & = \dfrac54(x -0) \\ 4(y + 20) & = 5x \\ 4y + 80 & = 5x \end{aligned}$
Titik potong garis $k$ terhadap sumbu-$X$ terjadi saat $y = 0$, berarti kita tulis $4(0) + 80 = 5x \Leftrightarrow x = \dfrac{80}{5} = 16.$
Jadi, titik potong garis $k$ terhadap sumbu-$X$ adalah $\boxed{(16, 0)}$
(Jawaban C)

Gradien garis $a$ adalah $m_a = \dfrac{-2}{-1} = 2.$
Karena tegak lurus, maka gradien garis $b$ adalah $m_b = -\dfrac{1}{m_a} = -\dfrac{1}{2} = -\dfrac12.$
Perhatikanlah bahwa garis $b$ melalui titik $(-1, 0).$
Persamaan garis yang melalui titik $(-1, 0)$ dan bergradien $m = -\dfrac12$ adalah
$\begin{aligned} y -y_1 & = m(x -x_1) \\ y – 0 & = -\dfrac12(x -(-1)) \\ 2y & = -x – 1 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis $b$ adalah $\boxed{2y = -x-1}$
(Jawaban B)

Diketahui $A(4, 10)$, $B(-1, p)$, dan $C(2, 2)$.
Karena ketiga titik itu terletak pada satu garis lurus, maka gradien $AB$ haruslah sama dengan gradien $BC$. Kita tuliskan
$\begin{aligned} m_{AB} & = m_{BC} \\ \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} & = \dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B} \\ \dfrac{p-10}{-1-4} & = \dfrac{2-p}{2-(-1)} \\ \dfrac{p-10}{-5} & = \dfrac{2-p}{3} \\ 3(p-10) & = -5(2-p) \\ 3p-30 & = -10+5p \\ 3p-5p & = -10+30 \\ -2p & = 20 \\ p & = -10 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{p=-10}$
(Jawaban A)

Agar titik-titik terletak pada satu garis lurus, maka gradien garis yang terbentuk harus sama.
Perhatikan bahwa pada titik $(2, 4)$, $(4, 7)$, $(10, 16)$, dan $(16, 25)$ membentuk garis lurus dengan gradien masing-masing:
$\dfrac{7-4}{4-2} = \dfrac{16-7}{10-4} = \dfrac{25-16}{16-10} = \dfrac32.$
Perhatikan juga bahwa,
$\dfrac{10-7}{7-4} = 1 \neq \dfrac32.$
Jadi, titik yang tidak segaris adalah $\boxed{(7, 10)}$
(Jawaban C)

Persamaan garis $ax + by = c$ memiliki gradien $m = -\dfrac{a}{b}$. Oleh karena persamaan $a_1x+b_1y = c_1$ dan $a_2x + b_2y = c_2$ tegak lurus, maka berlaku
$\begin{aligned} m_1 & = -\dfrac{1}{m_2} \\ -\dfrac{a_1}{b} & = -\dfrac{1}{-\dfrac{a_2}{b_2}} \\ \dfrac{a_1}{b_1} & = -\dfrac{b_2}{a_2} \\ a_1a_2 & = -b_1b_2 \\ a_1a_2+b_1+b_2 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $\boxed{a_1a_2+b_1+b_2 = 0}$
(Jawaban D)

Diketahui
$\begin{aligned} (x_1, y_1) & = (-1, 1) \\ (x_2, y_2) & = \left(1,\dfrac12\right) \\ (x_3, y_3) & = \left(1,\dfrac12\right) \\ (x_4, y_4) & = (7, t) \end{aligned}$
Gradien garis yang melalui titik $(-1, 1)$ dan $\left(1,\dfrac12\right)$ adalah
$\begin{aligned} m_1 & = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ & = \dfrac{\dfrac12-1}{1-(-1)} = \dfrac{-\dfrac12}{2} = -\dfrac14 \end{aligned}$
Gradien garis yang melalui titik $\left(1,\dfrac12\right)$ dan $(7, t)$ adalah
$\begin{aligned} m_2 & = \dfrac{y_4-y_3}{x_4-x_3} \\ & = \dfrac{t-\dfrac12}{7-1} = \dfrac{t-\dfrac12}{6} \color{red}{\times \dfrac22} = \dfrac{2t-1}{12} \end{aligned}$
Karena kedua garis yang menghubungkan titik-titik tersebut saling tegak lurus, maka berlaku hubungan gradien $m_1 = -\dfrac{1}{m_2}$.
Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} -\dfrac14 & = -\dfrac{1}{\dfrac{2t-1}{12}} \\ \dfrac14 & = \dfrac{12}{2t-1} \\ 2t-1 & = 48 \\ 2t & = 49 \\ t & = \dfrac{49}{2} = 24\dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{t = 24\dfrac12}$
(Jawaban E)

Berdasarkan grafik di atas, gradien garisnya adalah
$m = \dfrac{22 -14}{4 -2} = \dfrac{8}{2} = 4$
Misalkan harga yang harus dibayar untuk jarak tempuh 19 km adalah $x$ ribu rupiah, maka
$\begin{aligned} m = \dfrac{x -14}{19 -2} & = 4 \\ \dfrac{x-14}{17} & = 4 \\ x- 14 & = 68 \\ x & = 82 \end{aligned}$
Jadi, harga yang harus dibayar Rudi sebesar Rp82.000,00.
(Jawaban B)

Gradien garis lurus pada grafik di atas dapat dihitung dengan cara berikut.
$m = \dfrac{800-600}{2000-1980} = \dfrac{200}{20} = 10$
Misalkan ada sebanyak $x$ orang pada tahun $2015$ sehingga dengan menggunakan konsep gradien, diperoleh
$m = \dfrac{x -800}{2015-2000}$
Karena garis lurus yang ditinjau sama, maka gradiennya juga pasti sama.
$\begin{aligned} 10 & = \dfrac{x -800}{15} \\ 150 & = x -800 \\ x & = 950 \end{aligned}$
Jadi, banyak tenaga kerja laki-laki di kota tersebut pada tahun $2015$ adalah $\boxed{950~\text{orang}}$
(Jawaban D) 

Dugaan kita adalah bahwa penambahan bilangan di username memengaruhi penambahan bilangan di bagian password secara linear (membentuk garis lurus).
Katakanlah terdapat titik $(15, 552)$ dan $(19, 562)$. Gradien garis yang ditarik dari dua titik ini adalah
$\dfrac{562-552}{19-15} = \dfrac{10}{4} = \dfrac52.$
Sekarang, katakanlah ada titik $(43, 622)$ dan $(19, 562)$. Gradien garis yang melalui titik ini adalah
$\dfrac{622-562}{43-19} = \dfrac{60}{24} = \dfrac52.$
Karena gradiennya sama, maka pasangan bilangan pada username dan password bergerak secara linear. Dugaan sebelumnya memang benar.
Setiap penambahan $2$ pada bilangan di username, bilangan di password bertambah $5$.
Password untuk on75 dapat dicari sebagai berikut. Kita simbolkan sebagai $x$ dan kita menggunakan $(43, 622)$ sebagai titik bantu.
$\begin{aligned} \dfrac25 & = \dfrac{x-622}{75-43} \\ \dfrac52 & = \dfrac{x-622}{32} \\ \dfrac{80}{\cancel{32}} & = \dfrac{x-622}{\cancel{32}} \\ 80 & = x-622 \\ x & = 702 \end{aligned}$
Jadi, password untuk username on75 adalah $\boxed{702}$
(Jawaban C)

Substitusi $\color{red}{y} = mx-1$ pada persamaan $13x+11\color{red}{y} = 700$.
$\begin{aligned} 13x+11(mx-1) & = 700 \\ 13x+11mx-11 & = 700 \\ (13+11m)x & = 711 \\ x & = \dfrac{711}{13+11m} \end{aligned}$
Karena $x$ bulat, maka $13+11m$ harus merupakan faktor dari $711$.
Perhatikan bahwa $711$ memiliki faktor $\{1, 9, 79, 711\}.$
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nilai}~13+11m & \text{Nilai}~m \\ \hline 1 & -\dfrac{12}{11} \\ 9 & -\dfrac{4}{11} \\ 79 & 6 \\ 711 & \dfrac{698}{11} \\ \hline \end{array}$
Dari tabel di atas, tampak bahwa hanya ada $1$ nilai $m$ yang mungkin, yaitu $m = 6$, berakibat $x = 9$ dan $y = 53$.
(Jawaban B)

Tuliskan dulu gradien masing-masing garis.
$$\begin{aligned} y = ax + b & \Rightarrow m_1 = a \\ y = bx+a & \Rightarrow m_2 = b \end{aligned}$$Karena kedua garis berpotongan tegak lurus, maka berlaku
$$\begin{aligned} m_1 & = -\dfrac{1}{m_2} \\ a & = -\dfrac{1}{b} \\ ab & = -1 \end{aligned}$$Karena berpotongannya di $(1, ab)$, maka substitusi $x = 1$ dan $y = ab$ pada salah satu persamaan garis, misalnya $y = ax + b$, menghasilkan
$$\begin{aligned} ab & = a(1) + b \\ ab & = a + b \\ -1 & = a + b \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{a+b=-1}$
(Jawaban B)

Sebelum mengerjakan, kita perlu memperhatikan definisi (pengertian) mengenai posisi titik terhadap garis berikut.

1. Suatu titik dikatakan berada di posisi bawah suatu garis apabila nilai ordinat titik itu lebih kecil dari nilai ordinat titik yang dilalui garis tersebut pada absis yang sama.
2. Suatu titik dikatakan berada di posisi atas suatu garis apabila nilai ordinat titik itu lebih besar dari nilai ordinat titik yang dilalui garis tersebut pada absis yang sama.
3. Suatu titik dikatakan berada tepat pada suatu garis apabila nilai ordinat titik itu sama dengan dari nilai ordinat titik yang dilalui garis tersebut pada absis yang sama.

Jawaban a)
Titik $(2, -1)$ memiliki nilai ordinat $y = -1$.
Substitusi $x = 2$ pada persamaan $2x + y = 4$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} 2\color{red}{(2)} + y & = 4 \\ 4 + y & = 4 \\ y & = 0 \end{aligned}$
Karena nilai ordinat titik lebih kecil ($-1 < 0$), maka disimpulkan bahwa titik $(2, -1)$ di bawah garis $2x + y = 4$.
Titik $(3, 9)$ memiliki nilai ordinat $y = 9$.
Substitusi $x = 3$ pada persamaan $2x + y = 4$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} 2\color{red}{(3)} + y & = 4 \\ 6 + y & = 4 \\ y & = -2 \end{aligned}$
Karena nilai ordinat titik lebih besar ($9 > -2$), maka disimpulkan bahwa titik $(3, 9)$ di atas garis $2x + y = 4$.
Jawaban b)
Titik $(3, -5)$ memiliki nilai ordinat $y = -5$.
Substitusi $x = 3$ pada persamaan $y=2x-4$ untuk memperoleh
$y = 2\color{red}{(3)}-4 = 6-4=2$.
Karena nilai ordinat titik lebih kecil ($-5 < 2$), maka disimpulkan bahwa titik $(3, -5)$ di bawah garis $y=2x-4$.
Titik $(1, 6)$ memiliki nilai ordinat $y = 6.$
Substitusi $x = 1$ pada persamaan $y=2x-4$ untuk memperoleh
$y = 2\color{red}{(1)}-4 = 2-4= -2.$
Karena nilai ordinat titik lebih besar ($6 > -2$), maka disimpulkan bahwa titik $(1, 6)$ di atas garis $y = 2x-4$.
Jawaban c)
Titik $(0, 0)$ memiliki nilai ordinat $y = 0$.
Substitusi $x = 0$ pada persamaan $-9x+2y=18$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} -9\color{red}{(0)} + 2y & = 18 \\ 0 + 2y & = 18 \\ y & = 9 \end{aligned}$
Karena nilai ordinat titik lebih kecil ($0 < 9$), maka disimpulkan bahwa titik $(0, 0)$ di bawah garis $-9x+2y=18$.
Titik $(2, 2)$ memiliki nilai ordinat $y = 2$.
Substitusi $x = 2$ pada persamaan $-9x+2y=18$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} -9\color{red}{(2)} + 2y & = 18 \\ -18 + 2y & = 18 \\ 2y & = 36 \\ y & = 18 \end{aligned}$
Karena nilai ordinat titik lebih kecil ($2 < 18$), maka disimpulkan bahwa titik $(2,2)$ di bawah garis $-9x+2y=18$.

Misalkan titik potong garis $g$ terhadap kedua sumbu koordinat adalah $(p, 0)$ dan $(0, q)$ dengan $p, q$ bilangan genap positif yang kurang dari $10$.
Garis $g$ diketahui melalui titik $(3, 4)$. Berdasarkan prinsip kesamaan gradien dalam satu garis lurus, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{q-4}{0-3} & = \dfrac{0-4}{p-3} \\ \dfrac{q-4}{-3} & = \dfrac{-4}{p-3} \\ (q-4)(p-3) & = 12 \end{aligned}$
Selanjutnya kita harus mencari kombinasi dua faktor yang mungkin untuk menghasilkan $12$. Faktor dari $12$ adalah $1, 2, 3, 4, 6$, dan $12$.
Periksa setiap kemungkinan yang ada menggunakan tabel berikut dengan mengingat syarat $a, b$ harus genap dan nilainya kurang dari $10$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline q-4 & p-3 & q & p & \text{Keterangan} \\ \hline 1 & 12 & 5 & 9 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 2 & 6 & 6 & 9 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 3 & 4 & 7 & 7 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 4 & 3 & 8 & 6 & \text{Memenuhi} \\ 6 & 2 & 10 & 5 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 12 & 1 & 16 & 4 & \text{Tidak Memenuhi} \\ \hline \end{array}$$Jadi, nilai $p = 6$ dan $q = 8$.
Persamaan garis lurus yang melalui titik $(6, 0)$ dan $(0, 8)$ adalah $8x + 6y = 8 \cdot 6$, dan disederhanakan menjadi $4x + 3y = 24$. Grafiknya dapat dilihat pada gambar berikut.
Jadi, persamaan garis $g$ adalah $\boxed{4x+3y=24}$

Perhatikan sketsa grafik garis $\ell$ berikut.
Dimisalkan bahwa garis $\ell$ memotong sumbu-$X$ di $(a, 0)$ dan sumbu-$Y$ di $(0, b)$.
Persamaan garis $\ell$ adalah $bx + ay = ab.$
Karena garis $\ell$ melalui titik $(3, 4)$, maka dapat disubstitusi $x = 3$ dan $y = 4$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 3b+4a & = ab \\ ab-4a & = 3b \\ a(b-4) & = 3b \\ a & = \dfrac{3b}{b-4} \\ a & = \dfrac{3(b-4)+12}{b-4} \\ a & = 3+\dfrac{12}{b-4} \end{aligned}$
Karena $a$ prima (dan berarti juga bulat), maka $b-4$ harus merupakan faktor $12$, yaitu $1, 2, 3, 4, 6, 12$.
Analisis nilai $a$ dan $b$ yang keduanya harus prima dalam tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Nilai}~(b-4) & \text{Nilai}~b & \text{Nilai}~a \\ \hline 1 & 5 & \color{red}{15} \\ \hline 2 & \color{red}{6} & 5 \\ \hline 3 & 7 & 7 \\ \hline 4 & \color{red}{8} & \color{red}{6} \\ \hline 6 & \color{red}{10} & 5 \\ \hline 12 & \color{red}{16} & \color{red}{4} \\ \hline \end{array}$
Keterangan: Bilangan yang diwarnai merah artinya bukan prima.
Jadi, dipilih nilai $b = 7$, berakibat $a = 7$ (keduanya prima) sehingga persamaan garis $\ell$ adalah $7x + 7y = 49$, disederhanakan menjadi $\boxed{x + y = 7}$

Garis melalui $A(1,1)$ dan $B(100, 1000)$. Gradien garis tersebut adalah
$$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{1000-1}{100-1} = \dfrac{999}{99} = \dfrac{111}{11}$$Persamaan garisnya adalah
$$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-1 & = \dfrac{111}{11}(x-1) \end{aligned}$$Agar diperoleh bilangan bulat $y$, maka $11$ harus membagi habis $(x-1)$. Untuk suatu bilangan bulat $t$, maka kita tulis
$$\begin{aligned} x-1 & = 11t \\ x & = 11t+1 \\ \Rightarrow y-1 & = \dfrac{111}{11}(11t) \\ y & = 111t+1 \end{aligned}$$Karena koordinat yang diiinginkan berada di antara titik $A(1,1)$ dan $B(100,1000)$, maka nyatakan dalam bentuk pertidaksamaan berikut.
$$\begin{array}{rcccl} 1 & ~ & x & < & 100 \\ 1 & < & 11t+1 & < & 100 \\ 0 & < & 11t & < & 99 \\ 0 & < & t & < & 9 \\ 1 & \le & t & \le & 8 \end{array}$$dan
$$\begin{array}{rcccl} 1 & ~ & y & < & 1.000 \\ 1 & < & 111t+1 & < & 1.000 \\ 0 & < & 111t & < & 999 \\ 0 & < & t & < & 9 \\ 1 & \le & t & \le & 8 \end{array}$$Untuk kedua kasus tersebut, ditemukan $8$ nilai bilangan bulat $t$, yaitu $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$. Jadi, akan ada $\boxed{8}$ titik dengan koordinat bulat di antara $A$ dan $B$ yang dilalui garis itu.